反函数的导数

2023-05-21 14:52:36 来源:高三网

反函数的导数是原函数导数的倒数。例如:原函数是x=siny,则反函数为y=arcsinx;反函数的导数为:(arcsinx)"=1/x"=1/(siny)"。


(资料图片)

反函数如何求导

原函数的导数等于反函数导数的倒数。

设y=f(x),其反函数为x=g(y)

可以得到微分关系式:dy=(df/dx)dx,dx=(dg/dy)dy

那么,由导数和微分的关系我们得到

原函数的导数是df/dx=dy/dx

反函数的导数是dg/dy=dx/dy

所以,可以得到df/dx=1/(dg/dx)

反函数性质

(1)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;

(2)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

(3)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则反函数也是奇函数;

(4)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

(5)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;

(6)反函数是相互的且具有唯一性;

(7)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);

(8)y=x的反函数是它本身。

反三角函数求导公式

反正弦函数的求导:(arcsinx)"=1/√(1-x^2)

反余弦函数的求导:(arccosx)"=-1/√(1-x^2)

反正切函数的求导:(arctanx)"=1/(1+x^2)

反余切函数的求导:(arccotx)"=-1/(1+x^2)

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