逆矩阵的行列式等于行列式的倒数 世界观天下

2023-05-14 11:36:44 来源:高三网

逆矩阵的行列式等于行列式的倒数,设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。

逆矩阵的性质定理有哪些

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。


(资料图片)

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)

5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明:

1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。

2、设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C

3、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

4、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。

行列式运算法则

1、三角形行列式的值,等于对角线元素的乘积。计算时,一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、交换行列式中的两行(列),行列式变号。

3、行列式中某行(列)的公因子,可以提出放到行列式之外。

4、行列式的某行乘以a,加到另外一行,行列式不变,常用于消去某些元素。

5、若行列式中,两行(列)完全一样,则行列式为0;可以推论,如果两行(列)成比例,行列式为0。

6、行列式展开:行列式的值,等于其中某一行(列)的每个元素与其代数余子式乘积的和;但若是另一行(列)的元素与本行(列)的代数余子式乘积求和,则其和为0。

7、在求解代数余子式相关问题时,可以对行列式进行值替代。

8、克拉默法则:利用线性方程组的系数行列式求解方程。

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